《挑戰程序設計競賽》筆記
狄克斯特拉算法的精妙之處
在《挑戰程序設計競賽》這本書中，作者渡部有隆以其獨特的視角，為我們揭示了狄克斯特拉算法的精妙之處。狄克斯特拉算法，是解決單源最短路徑問題的核心算法之一，其像一把精準的尺子，能夠在加權圖中找出從起點到各個頂點的最短路徑。書中通過圖13.11的示例，生動地展示了狄克斯特拉算法的運行過程。頂點i的上方是頂點編號i，內部的數字表示d[i]，灰色背景則表示當前已屬于最短路徑樹S的頂點和邊。這種直觀的展示方式，讓讀者能夠更好地理解算法的執行邏輯。
書中提到，狄克斯特拉算法的實現方法中，d值最小的頂點v可以通過O(V)的時間復雜度求得。如果使用鄰接矩陣，則需要O(V)的時間來搜索與頂點u相鄰的頂點。這種處理總共需要進行V次，所以算法的復雜度為O(V2)。然而，作者也提醒我們，狄克斯特拉算法不能應用于包含負權值的圖。對于具有負權值的圖，我們需要使用貝爾曼-福特算法或弗洛伊德算法來處理。
鄰接表與二叉堆的聯動
在書的第267頁，作者詳細介紹了如何使用鄰接表和二叉堆來優化狄克斯特拉算法的實現。圖13.12展示了加權有向圖的鄰接表結構，每個頂點不僅包含相鄰頂點的編號，還包含權重信息。通過這種結構，我們可以更高效地訪問和更新頂點的最短路徑信息。
作者指出，傳統的鄰接矩陣實現方式雖然直觀，但在大規模數據下效率不高。而鄰接表的引入，可以顯著減少時間復雜度。然而，即便如此，算法的復雜度仍然是O(V2)。為了進一步優化，作者建議使用二叉堆（優先級隊列）來實現狄克斯特拉算法。通過將頂點按d值的大小組織在堆中，我們可以在O((V+E)logV)的時間復雜度內完成最短路徑的計算。
優先級隊列的直觀實現
書中還介紹了如何使用優先級隊列來實現狄克斯特拉算法。這種方法的核心思想是，每次從隊列中取出d值最小的頂點，并更新其相鄰頂點的最短路徑信息。具體來說，算法的步驟如下：
- 初始化所有頂點的顏色為WHITE，距離d[u]為無窮大，起點s的距離d[s]為0。
- 將起點s插入優先級隊列PQ中。
- 當PQ不為空時，取出距離最小的頂點u，并標記其顏色為BLACK。
- 對于u的所有相鄰頂點v，如果存在更短的路徑，則更新v的距離，并將v插入PQ中。
這種實現方式不僅代碼簡潔，而且邏輯清晰。作者通過圖13.12的示例，展示了如何在加權有向圖中構建鄰接表，并通過優先級隊列高效地更新最短路徑信息。
實際應用與優化
在書的第269頁，作者還為我們展示了一個實際的編程題目：ALDS112 B:SingleSourceShortestPathIl。該題要求我們編寫一個程序，求給定加權有向圖G=(V，E)的單源最短路徑的成本。輸入的頂點數n可以達到10000，邊數E可以達到500000，這對算法的效率提出了較高的要求。
作者建議，我們可以通過鄰接表和二叉堆的聯動，來高效地解決這個問題。具體來說，我們需要：
- 讀取輸入數據并構建鄰接表。
- 初始化距離數組d和顏色數組color。
- 使用二叉堆或優先級隊列來管理候選頂點。
- 按照狄克斯特拉算法的步驟，逐步更新各頂點的最短路徑。
通過這種方法，我們可以在O((V+E)logV)的時間復雜度內完成計算，滿足題目的時間限制。
結語
通過這本書的學習，我們不僅掌握了狄克斯特拉算法的實現方法，還了解了如何在實際應用中優化算法性能。無論是鄰接表的構建，還是二叉堆的使用，作者都以其獨特的視角為我們揭示了算法設計的精髓。希望通過這本書的學習，我們能夠在程序設計競賽中取得優異的成績。